Ahmet Glavović wurde am 13. Juli 1948 in Mostar im ehemaligen Jugoslawien geboren.
Seine Profikarriere begann er 1965 bei seinem Heimatverein FK Velež Mostar. Mostar, eine Stadt in der jugoslawischen Teilrepublik Bosnien-Herzogowina, beherbergte damals Angehörige vieler Ethnien. Jeweils ein Drittel der Bevölkerung waren Bosniaken und Kroaten, der serbische Anteil betrug etwa ein Fünftel. Der Verein FK Velež wurde überwiegend von Bosniaken unterstützt. Ahmet Glavović spielte mehr als ein Jahrzehnt für Velež und war Mitglied der Mannschaft, die zwei Vizemeistertitel errang und zweimal den dritten Platz bei der jugoslawischen Meisterschaft belegte. Mit Mostar absolvierte Ahmet Glavović auch fünf Spiele im UEFA-Pokal, erstmals in der Saison 1973/74.
Im Sommer 1976, mit Ablauf seines 28. Lebensjahrs, erwarb Glavović das Recht, ins Ausland zu gehen. So wechselte er vor Beginn der Saison 1976/77 zum TSV 1860, wo der 1,87 Meter große Verteidiger meist als Libero eingesetzt wurde. Mit Frau und Tochter wohnte er in der Wirtstraße in Giesing unweit des Stadions. Nach einigen Anfangsschwierigkeiten im Spiel befürchteten Verantwortliche im Verein schon, einen Fehleinkauf getätigt zu haben. Man munkelte, er sei technisch zu schwach, hüftsteif und zu ruppig. Der Trainingsbeginn bei den Löwen verlief auch nicht optimal: Wegen der zu engen neuen Fußballschuhe bildeten sich Blasen an den Füßen und Glavović plagte sich das ganze Trainingslager mit diesem Handikap. Trotzdem wurde er schnell in die Mannschaft integriert. Erleichtert wurde es dadurch, dass ihn eine Mitspieler mit der Familie oft zum Essen einluden. Schon bald entwickelte er sich zu einem wichtigen Stammspieler. „Brazzo“ (bosnisch für „Bürschchen“) oder auch „Glavo“,wie er mit Spitznamen genannt wurde, verlieh der Abwehr Sicherheit und Stabilität und er war im besten Sinne des Wortes ein Mannschaftsspieler. Die Fans liebten ihn.
So sehr ihn auch die Mannschaftskameraden und eigenen Fans schätzten und liebten, so wenig mochten ihn die gegnerischen Stürmer. „Glavo“ galt als eisenharter Verteidiger, an dem nicht leicht vorbeizukommen war und der notfalls auch zu unsportlichen Mitteln griff, um dem Gegner keine Torchance zu ermöglichen. So erhielt er in seiner ersten Saison bei 1860 rekordverdächtige 17 gelbe Karten. Der Spieler hatte nur geringe Deutschkenntnisse, weshalb er die Karten mit „gelbes Karton“ benannte. Auch die Schiedsrichterbelehrungen bei den Verwarnungen mussten ihm unverständlich bleiben, er kommentierte sie schlicht mit „Ich rätsel“ oder mit „gelbes Karton gegen mich nix korrekt.“ Zu diesem Zeitpunkt gab es im deutschen Profifußball allerdings noch keine Sperren aufgrund einer bestimmten Anzahl von Verwarnungen, so dass Glavović tatsächlich in allen 38 Punktspielen der Saison 1976/77 zum Einsatz kam und maßgeblichen Anteil am Bundesliga-Aufstieg der Löwen hatte. Seine einzige Rote Karte handelte er sich am 29. September 1978 im Spiel gegen den Karslruher SC (0:1) ein. Das geschah aber nur deswegen, weil er seinem Verteidigerkollegen Alfred Kohlhäufl, der bereits Gelb verwarnt und Rot gefährdet war, angeboten hatte, für ihn die Bewachung des Karlsruher Mittelstürmers zu übernehmen.
Legendär sind die Spiele um den Bundesligaaufstieg 1977 gegen Arminia Bielefeld, den Zweiten der II. Bundesliga Nord. Nach jeweils 4:0-Heimsiegen musste am 11. Juni 1977 ein Entscheidungsspiel im Frankfurter Waldstadion über den Aufstieg entscheiden. Vor 60 000 Zuschauern gewann 1860 nach Toren von Jimmy Hartwig und Georg Metzger mit 2:0. „Glavo“ war bei allen drei Spielen dabei.
Seine mangelnden Deutschkenntnisse brachten ihn vielfach in Konflikt mit der deutschen Verwaltung oder führten zu Missverständnissen. Darüber sind zahlreiche Anekdoten und Geschichten im Umlauf. So sperrten ihm angeblich die Münchner Stadtwerke den Strombezug, weil er seine Stromrechnung nicht bezahlt und die Mahnungen achtlos weggeworfen hatte. Von seinem Verdienst kaufte er in Mostar ein Café, das zunächst von seinem Vater und seinem Bruder geführt wurde.
Obwohl Glavović nur drei Spielzeiten in München absolvierte und dann zu seinem Stammverein zurückkehrte, erlebte er in Deutschland alle Höhen und Tiefen. Nach dem Aufstieg von 1977 folgte der Abstieg 1978 und diesem wiederum der unmittelbare Wiederaufstieg 1979. Sein Abschiedsspiel für 1860 war das letzte Spiel in der Saison 1978/79, das mit einem 3:1-Heimsieg gegen den 1. FC Saarbrücken und dem damit verbundenen Wiederaufstieg der Löwen endete. Insgesamt absolvierte er für die Löwen 93 Spiele.
1979 verließ Ahmet Glavović München und kehrte mit seiner Familie nach Mostar zurück. Dort absolvierte er noch eine Spielzeit bei seinem alten Verein, bevor er seine aktive Karriere beendete. Er betätigte sich als Trainer und kümmerte sich um sein Café.
Im Privatleben musste er immer wieder Schicksalsschläge verkraften. Nach dem Untergang des kommunistischen Regimes 1989/90 kam es im Vielvölkerstaat Jugoslawien zu Separationsbestrebungen, die Anfang der 1990er Jahre in die Abspaltung und Unabhängigkeit der Teilrepubliken mündeten. Diese Abspaltungsprozesse gingen mit erheblichen Konflikten einher und endeten in einer Serie von blutigen Kriegen. Nach den kriegerischen Auseinandersetzungen in Kroatien 1991 wuchsen die Spannungen in Bosnien und Herzegowina. So kam es im Jahr 1992 auch in Bosnien zum Krieg, der bis zum Jahr 1995 anhielt und als der grausamste unter den Jugoslawienkriegen gilt. Etwa 100.000 Menschen verloren ihr Leben; fast jeder fünfte Einwohner wurde im Laufe des Krieges getötet oder vertrieben.
Das Leben von Ahmet Glavović veränderte sich schlagartig, als der Bosnien-Krieg seine Heimatstadt Mostar erreichte. Dabei wurde die Stadt unter anderem durch Vertreibungen in einen kroatisch-westlichen sowie einen bosniakisch-östlichen Teil aufgeteilt. Während des Krieges zerstörten kroatische Streitkräfte das Wahrzeichen Mostars, die Brücke Stari most, durch mehrstündigen gezielten Beschuss.
Glavović verlor seinen gesamten Besitz. Sein Lokal, das er sich nach seiner Karriere aufgebaut hatte, wurde zerstört, sein Vater erschossen und seine Frau erlag einem Krebsleiden. In dieser schicksalhaften Zeit kehrte der einstige Löwen-Star 1991 gemeinsam mit seinem Sohn Igor nach Deutschland zurück. Er ging zunächst nach Plattling, wo sein ehemaliger Mitspieler Alfred Kohlhäufl als Trainer wirkte, und übernahm dort vorübergehend die Vereinsgaststätte der SpVgg Plattling. Dann verzog er nach München und fand bei der Großmarktkette Metro Arbeit. Das Geld reichte kaum. Wenig später kam sein Sohn bei einem Verkehrsunfall auf der Autobahn bei Oberschleißheim ums Leben.
Nachdem der Krieg beendet war, kehrte er Ende der 1990er Jahre in seine Heimat zurück. Am 31. Oktober 2020 ist er in Mostar (Bosnien und Herzegowina) an den Folgen eines Schlaganfalls verstorben.
Jugoslawische Fußballspieler, die Teile ihrer Karriere im europäischen Ausland verbrachten, gibt es viele. Die bedeutendsten beim TSV 1860 waren die Mitglieder der Meistermannschaft von 1966, Petar Radenković und Željko Perušić. Dass Ahmet Glavović sich jedoch gezwungen sah, aufgrund der Situation in seinem Heimatland nach seinem beruflichen Aufenthalt noch ein weiteres Mal in München Zuflucht zu suchen, unterscheidet seine Migrationsgeschichte von der anderer Fußballprofis.